Soal EBTANAS Matematika SMA IPA 1996
Hasil dari \( \int (3x+1) \cos 2x \ dx = \cdots \ ? \)
- \( \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
- \( \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x - \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
- \( \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{2} \cos 2x + C \)
- \( -\frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{2} \cos 2x + C \)
- \( -\frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \)
Pembahasan:
Kita bisa selesaikan soal integral ini menggunakan metode integral parsial dengan memisalkan terlebih dahulu \( u = (3x+1) \) dan \( dv = \cos 2x \ dx \) sehingga \( \int (3x+1) \cos 2x \ dx = \int u \ dv \) dan kita peroleh berikut:
\begin{aligned} u = (3x+1) \Leftrightarrow du &= 3 \ dx \\[8pt] dv = \cos 2x \ dx \Leftrightarrow v &= \int \cos 2x \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}\sin 2x \end{aligned}
Dari hasil di atas, kita peroleh penyelesaian untuk soal integral ini, yaitu:
\begin{aligned} \int u \ dv &= uv-\int v \ du \\[8pt] \int (3x+1) \cos 2x \ dx &= (3x+1) \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 3 \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x - \frac{3}{2} \int \sin 2x \ dx \\[8pt] &= \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos 2x + C \\[8pt] &= \frac{1}{2}(3x+1) \sin 2x + \frac{3}{4} \cos 2x + C \end{aligned}
Jawaban A.